TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

INTRODUCCION

Los trinomios cuadrados perfectos se utilizan en la Geometría Analítica para transformar las ecuaciones generales que describen las figuras geométricas, en particular las cónicas, en las ecuaciones ordinarias correspondientes, con el objeto de poder elaborar la gráfica y determinar cada una de las partes que componen a la figura.
El conocimiento y dominio del trinomio cuadrado perfecto permite mejorar la comprensión de las ecuaciones que describen a la circunferencia, la elipse y la parábola, además de los elementos que las caracterizan, tales como, el centro de la circunferencia y la elipse, el vértice de la parábola, el radio de la circunferencia, los ejes de la elipse o el parámetro de la parábola, entre otras. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

En la Historia de la Matemática, se le atribuye a Bhaskara una demostración del Teorema de Pitágoras en el siglo XII en donde asocio la formula con el área de los cuadrados que estaban sobre los lados de un triángulo rectángulo (sobre las longitudes de los catetos y sobre la longitud de la hipotenusa) y operando con los cuadrados que estaban sobre las longitudes de los catetos logro formar el cuadrado que esta sobre la longitud de la hipotenusa.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:

 

Ambas son respuestas aceptables.

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

EJEMPLOS DEL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO  

·      x²  +  6x  +  9 = (x + 3)²

x                3
      2.3.x
         6x

·      x² + 2x + 1 = (x + 1)²

x            1
    2.1.x
      2x

·      x²   -  10x   +   25 = (x - 5)²

x                   (-5)
      2.(-5).x
        -10x

·      25x⁶  +  10 x⁵   +    x⁴ = (5x³ + x²)²

5x³                       x²
         2.5x³.x²
           10x⁵

·      -x²  +  6x  - 9 = - (x²   -   6x   +   9) = - (x - 3)²

                            x               (-3)
                                   2.x.(-3)
                                     -6x

·      4x²  +  4xa³  +  a⁶ = (2x + a³)²

2x                  a³
        2.2x.a³
          4xa³

EJERCICIOS DE LA EXPRESION ALGEBRAICA

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

INTRODUCCION

La Multiplicación de Polinomios La cual ha sido preparada, esquematizada y escrita con todo el entusiasmo, responsabilidad y dedicación contribuyendo de esta manera a fortalecer la razón de la visión. En el presente documento nuestra misión es fomentar el conocimiento sobre las bondades que tienen los polinomios y de cómo influye en la vida cotidiana.

El propósito y utilidad del caso de estudio de los polinomios en este documento son los siguientes:

·        Conocer en el área de las matemáticas que es la multiplicación de polinomios.

·        Fomentar el uso de la multiplicación de polinomios.

·        Reconocer la importancia de la aplicación de la multiplicación de polinomios en las letras y números naturales especialmente en el diario vivir

·        Valorar las propiedades específicas de la multiplicación de polinomios.

MULTIPLICACION DE POLINOMIOS

La multiplicación de polinomios es una operación algebraica que tiene por objeto hallar una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, de modo que el producto sea con respecto del multiplicando en signo y valor absoluto lo que el multiplicador es respecto a la unidad positiva. Tanto el multiplicando como el multiplicador reciben el nombre de factores del producto.

Multiplicación de polinomios.

        Para poder multiplicar un polinomio por otro.

        a) Se multiplican cada uno de los términos del primer polinomio por los términos    del segundo.

        b) Al ir multiplicando se acomodan los términos semejantes en columnas.

        c) Se suman los coeficientes de cada columna dejando la misma parte literal.

Ley de signos:

(+)  (+) = +

(-)   (-) = +

(+)  (-) = -

(-)   (+) = -

EJEMPLOS  DE POLINOMIOS

Ejemplos:

1.  (2 + 5) (3x – 4)=

2. (3x + 2) (2x² + 4x –3)

 

·        (-3ab) (2a – 3b + 4a²b) = -12a³b² – 6a²b + 9ab²

·        (25xy³) (-2x^1/2 y^-2+ 3x³y –5y) = 75 x⁴y⁴ – 50 x^3/2y –125 xy⁴

·         (3x) (2x² + 4x-3) = 6x³ + 12x² - 9x

·         (2ab + 5ab² + b3) (ab²) = 2a²b³ + 5a²b⁴ + ab⁵

EJERCICOS DE POLINOMIOS

·                    4x³ - 5x² + 2x +  1     (el polinomio A ordenado y completo)

            X                  3x  -  6    (el polinomio B ordenado y completo)
           ____________________
            -24x³ + 30x² - 12x - 6
+
    12x⁴ - 15x³ +  6x²  +  3x
    _________________________
    12x⁴ - 39x³ + 36x²  -  9x - 6


A x B = 12x⁴ - 39x³ + 36x²  -  9x - 6

·                   5x⁴ + 0x³ - 9x² + x + 0   (polinomio A completo y ordenado)

            X               -2x² + 0x + 3 (polinomio B completo y ordenado)
           ______________________________
                     15x⁴ + 0x³ - 27x² + 3x  + 0
  
             0x⁵ +  0x⁴ + 0x³ +  0x² +  0x

  -10x⁶ + 0x⁵ + 18x⁴ - 2x³ + 0x²
________________________________________
 -10x⁶ +  0x⁵ + 33x⁴ - 2x³ - 27x² + 3x + 0



A x B =  -10x⁶ + 33x⁴ - 2x³ - 27x² + 3x

·                      5x⁴ - 9x² + x       (polinomio A incompleto pero ordenado)

             X              -2x² + 3 (polinomio B incompleto pero ordenado)
            _____________________
              15x⁴        - 27x² + 3x

   -10x⁶ + 18x⁴ - 2x³
 ____________________________
   -10x⁶ + 33x⁴ - 2x³ - 27x² + 3x



A x B =  -10x⁶ + 33x⁴ - 2x³ - 27x² + 3x

MULTIPLICACION DE MONOMIOS

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

INTRODUCCION

La Multiplicación de Polinomios en el 8º Grado de educación básica fue investigada como alternativa multidisciplinaria a presentarse en la exposición técnica de ITEXSAL del año 2008. La cual ha sido preparada, esquematizada y escrita con todo el entusiasmo, responsabilidad y dedicación contribuyendo de esta manera a fortalecer la razón de la visión de nuestra institución ITEXSAL en la vida cotidiana de nosotros los salvadoreños.

En el presente documento nuestra misión es fomentar el conocimiento sobre las bondades que tienen los polinomios y de cómo influye en la vida cotidiana.

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

Monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan exponentes naturales de variables literales que constan de un solo término, un número llamado coeficiente. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponentes naturales. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es una clase de polinomio con un único término.

Un monomio posee una serie de elementos con denominación específica.

Dado el monomio:

 5x 3

Se distinguen los siguientes elementos:

Coeficiente: 5también incluye al signo

Parte literal (exponente natural): x 3

Grado: 3

El signo te indica si es negativo (–). Se omite si es positivo (+) y , y nunca puede ser cero ya que la expresión completa tendría valor cero.

El grado absoluto de un monomio es igual a la suma de los exponentes de las variables que lo componen.

Para multiplicar monomios, se multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las letras diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en los factores. El signo del producto será el que le corresponda al aplicar la regla de los signos.

Ley de signos:

(+)  (+) = +

(-)    (-) = +

(+)    (-) = -

(-)     (+) = -

EJEMPLOS DE MULTIPLICACION DE MONOMIOS

(2x3) · (5x3) = 10x6

2(12x3) · (4x) = 48x4

35 · (2x2 y3z) = 10x2y3z

4(5x2y3z) · (2 y2z2) = 10x2y5z3

5(18x3y2z5) · (6x3yz2) = 108x6y3z7

6(−2x3) · (−5x) · (−3x2) = −30x6

3xy.4x2y3= 12x3y4

5x2 y3 z · 2 y2 z2 = 10 x2 y5 z3

5x2 · 3x4 = 15x6

PRODUCTOS NOTABLES

INTRODUCCIÓN

El producto notable el cual es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.  Y la  Factorización que es aquella mediante la cual podemos expresar un objeto o número,  como producto de otros objetos más pequeños (factores), que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original.

En este sentido, mediante el desarrollo  del  presente trabajo  de investigación trataremos ambos temas, con el objeto de conocer los principales productos notables  y la factorización, así como la forma de resolverlos adecuadamente. A su vez, podremos observar la relación entre ellos y la utilidad de cada uno de los mismos. A continuación apreciaremos el desarrollo de la presente investigación. .

PRODUCTOS NOTABLES

Los productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente, sin hacer paso a paso la multiplicación. Son como las tablas de multiplicar del álgebra elemental. Los principales productos notables son:

·        Cuadrado del binomio

·        Suma por diferencia

·        Cubo de un binomio

·        Producto de binomios con un término repetido  

·        Cuadrado de un trinomio

·        Productos que desembocan en la suma o diferencia de cubos perfectos

Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas  a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble producto de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

También el cuadrado del binomio se presenta en cuadrado de su diferencia lo que cambiara será solo el signo de suma por el de resta.

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES

Ejemplo:

  (3x+4)² =

(3x+4). (3x+4)= 9x² +12x +12x+ 16=

                                        9x² + 24x + 16

Ejemplo:

(7 a²+3b²)² =

(7 a²+3b²). (7 a²+3b²)=

49 a⁴ +21 a²b² +21 a²b²+ 9b4 =    49 a⁴ +42a²b² + 9b4

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

(a -  b)² =  a²  -  ­­­2ab + b²

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

Ejemplo:

(3x - 4)² =

(3x-4). (3x-4)= 9x² -12x -12x+ 16=

                                        9x² - 24x + 16

 Ejemplo:

(7 a²-3b²)² =

(7 a²-3b²). (7 a²-3b²)=

49 a⁴ -21 a²b² -21 a²b²+  9b⁴ =    49 a⁴ - 42a²b² +  9b⁴

Ejercicio

(5a+3b)² =

(5a+3b). (5a+3b)

25 a²+15ab+15ab+9b²= 25 a²+ 30ab+9 a²

(4m+6x)² =

(4m+6x). (4m+6x) =

16m2+24mx+24mx+36x2= 16m2+48mx+36x2

(9x²+3b²)²

(9x²+3b²). (9x²+3b²)= 81x⁴+27x²b²+27x²b²+9b⁴

SUMA DE POLINOMIOS

INTRODUCCIÓN

El lenguaje que utiliza el álgebra se fundamenta en Expresiones algebraicas. Existe una clase importante de expresiones algebraicas llamada “Polinomios”. El estar familiarizado con polinomios y saber operar con ellos es de fundamental importancia en nuestro desarrollo matemático. Sus aplicaciones son múltiples en la economía, las Ciencias sociales, las ciencias naturales, la ingeniería, la computación y la medicina, entre otras.

SUMA DE POLINOMIOS

Un polinomio es una expresión algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes.

Si recordamos la suma de monomios, cuando estos no eran semejantes, no se podían sumar. En este caso lo que se obtiene es por tanto un polinomio.

La expresión general de los polinomios que sólo tienen una variable, los más utilizados, es:

Por ejemplo:

Se denomina grado de un polinomio a la mayor potencia de los monomios que lo componen.

Ejemplos

Ejemplo.- Son polinomios las expresiones siguientes:

a)   4ax4y3 + x2y + 3ab2y3

b)  4x4 -2x3 + 3x2 - 2x + 5

 

Ejercicios:

1.- (4x+3y-8z) + (7x-8y+5z)

4x+3y-8z
7x-8y+5z
=
11x-5y-3z



2.- (4x3+5x-7x2+9) + (6x3-4x+3x2-3)

4x3-7x2-5x+9
6x3+3x2-4x-3
=
10x3-4x2+x+6

SUMA DE MONOMIOS

INTRODUCCIÓN

Un avance importante en el Álgebra fue la introducción, en el siglo XVI, de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas. Debido a este avance, el Libro III de la Geometría (1637), escrito por el matemático y filósofo francés René Descartes se parece bastante a un texto moderno de Álgebra. Sin embargo, la contribución más importante de Descartes a la Matemática fue el descubrimiento de la Geometría Analítica, que reduce la resolución de problemas geométricos a la resolución de problemas algebraicos. Su libro de Geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación. (Biblioteca de Consulta Microsoft Encarta 2004)

En la actualidad los conocimientos del Álgebra han encontrado aplicaciones en todas las ramas de la Matemática y en muchas otras ciencias llegando a ser empleados hasta para investigaciones sobre las leyes del pensamiento.

 SUMA DE MONOMIOS

Un monomio es una expresión algebraica en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones. Las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es un polinomio con un único término.

Elementos de un monomio

Un monomio posee una serie de elementos con denominación específica.

Dado el monomio:

5x^₃

Se distinguen los siguientes elementos:

Coeficiente: 5 también incluye al signo

Parte literal (exponente natural): x

Grado: 3

El signo te indica si es negativo (–). Se omite si es positivo (+) y, y nunca puede ser cero ya que la expresión completa tendría valor cero.

La parte literal la constituyen las letras de la expresión.

El grado puede ser absoluto (la suma de los exponentes de su parte literal) o con relación a una letra.

Si un monomio carece de signo, equivale a positivo (+).

Si un monomio carece de coeficiente, este equivale a uno.

Si algún término carece de exponente, este es igual a uno.

El coeficiente de un monomio es el número que aparece multiplicando a la parte literal. Normalmente se coloca al principio. Si tiene valor 1 no se escribe, y nunca puede ser cero ya que la expresión completa tendría valor cero.

Ejemplos

Dos monomios se pueden multiplicar, efectuando el producto de los coeficientes y de las partes literales, respectivamente.

Cociente de dos monomios

El cociente de dos monomios será otro monomio sólo cuando la parte literal del dividendo es múltiplo de la parte literal del divisor.

Ejemplos

Sí es un monomio porque: X²Y  es múltiplo de; XY 

Ejercicios

MAXIMO COMUN DIVISOR

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

INTRODUCCIÓN

En el contexto escolar la enseñanza de la divisibilidad se ha limitado a la aplicación de algoritmos y a la memorización de fórmulas, dejando de lado las relaciones existentes entre números, lo que imposibilita al estudiante reflexionar sobre lo que hace, para poderlo aplicar en diferentes situaciones, tanto dentro del ámbito escolar como en su vida diaria.

La enseñanza y aprendizaje de la divisibilidad, implica tener una mirada estructurada de los conceptos, para que el estudiante reconozca las relaciones existentes entre múltiplo, factor y divisor, y lograr una mejor comprensión de los mismos, dejando de lado la actitud de valerse de la memorización de algoritmos y definiciones para resolver los talleres.

La finalidad que se ha trazado con la investigación, es la de indagar qué tipo de relaciones de divisibilidad establecen los estudiantes al abordar problemas de máximo común divisor y mínimo común múltiplo, analizando sí en los diferentes procedimientos y estrategias que realizan los alumnos, establecen algún tipo de conexión entre los conceptos "ser múltiplo de" y "ser divisor de", o si por el contrario los ven como elementos separados.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR   M.C.D.

El M.C.D. de un conjunto de números enteros es el mayor entero positivo que es divisor de cada uno de los números del conjunto.

En matemáticas, se define el máximo común divisor (abreviado mcd) de dos o más números enteros al mayor número que los divide sin dejar resto. Por ejemplo, el mcd de 42 y 56 es 14. En efecto:

Operando:

 

Siendo 3 y 4 primos entre sí (no existe ningún número natural, aparte de 1, que divida a la vez al 3 y al 4).

El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes elevados a la menor potencia, el producto de los cuales será el mcd.

• Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.)

·         Se descomponen los números en factores primos.

·         Se toman los factores comunes con menor exponente.

·         Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el mcd. 

Ejemplo:

Para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 se obtiene de su factorización en factores primos

El MCD son los factores comunes con su menor exponente, esto es:

Ejercicios:

Calcular el MCD entre 120 y 144

M.C.D. 120= 2³ .3 .5       M.C.D. 140 = 2⁴ .3²

MCD = 2³ .3= 2.2.2.3=  24