EXPRESINES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones na de caracteres del lenguaje habitual.

Una expresión matemática es una secuencia o cade cuyos símbolos pertenecen a un lenguaje formall, de tal manera que la expresión cumple ciertas reglas de buena formacion y que admite una interpretación consistente en alguna área de la matematicas y en otros sistemas formales. 

EJEMPLOS:

PRODUCTOS NOTABLES                               

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con exprecion algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolucion fija  de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una formula de factorizacion. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.
EJEMPLOS:

FACTOR COMUN
El resultado de multiplicar un binomio por un término se obtiene aplicando la propiedad distrivutiva:

Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es

(el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: y

Ejemplo:

CUADRADO DE UN BINOMIO
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

Un trinomio de la expresión siguiente: se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:

En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.
Ejemplo:

Simplificando:

 PRODUCTOS DE UN BINOMIO CON UN TERMINO SEMEJANTES

Para resolver un binomio con término común se tiene que identificar el término común: en este caso X, la cual se eleva al cuadrado, mas la suma de los no comunes: (a)(b) el resultado se multiplica por X mas la multiplicación de no los comunes:

Ejemplo:

Agrupando términos:

Luego:

PRODUCTO DE UN BINOMIO CONJUGADO

Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.

Ejemplo:

Agrupando términos:

POLINOMIO AL CUADRADO

Para elevar un polinomios de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.

Ejemplo:

Multiplicando los monomios:

Agrupando términos:

Luego:

 CUBO DE UN BINOMIO

Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:

• El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
• El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
• El cubo del segundo término.

Identidades de Cauchy:

Ejemplo:

Agrupando términos:

Si la operación del binomio implica resta, el resultado es:

• El cubo del primer término.
• Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
• Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
• Menos el cubo del segundo término.

Identidades de Cauchy:

Ejemplo:

Agrupando términos:

                                                                                                                                                                 

TRINOMIO DE LA FORMA X2+BX+C

Trinomio al cuadrad

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c

(x2 − x + 1)2 =

= (x2)2 + (-x)2 + 12 +2 · x2 · (-x) + 2 x2 · 1 + 2 · (-x) · 1=

= x4 + x2 + 1 - 2x3 + 2x2 - 2x =

= x4- 2x3 + 3x2 - 2x + 1

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un un binomio al cuadrado.

a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2

a2 − 2 a b + b2 = (a − b)2

Trinomio de segundo grado

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = a x2 + bx +c,se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será:

a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 )

MULTIPLICACION

EXPLICACIÓN:  


1) Ubico un polinomio sobre otro (el monomio abajo), como cuando se multiplica "a mano" un número natural de varias cifras por otro número de una sola cifra.

(En realidad el procedimiento más habitual para multiplicar por un monomio es poniendo el polinomio entre paréntesis y aplicando la Propiedad distributiva "en el mismo renglón". Pero lo hago de esta otra manera, porque sirve como introducción para los ejemplos siguientes donde ya no se multiplica por un monomio, sino por polinomios de cualquier cantidad de términos.)


   -3x²  +  2x⁴  -  8  -  x³   +  5x

    X                                  -5x⁴
______________________________



2) Multiplico al monomio  por cada término del polinomio, y pongo los resultados debajo de la línea. Puedo empezar por el término de la derecha o izquierda, pero se acostumbra a empezar por el de la derecha, como en la multiplicación de números naturales de varias cifras :

- Multiplico el monomio por el primer término de la derecha (¿por qué empiezo por la derecha?), que es +5x:

(-5x⁴).(+5x) = -25x⁴⁺¹ = -25x⁵     

    -3x² + 2x⁴ - 8 - x³ + 5x

    X                         -5x⁴
________________________
                             - 25x⁵


- Multiplico el monomio por el segundo término (contando desde la derecha), que es -x³:

(-5x⁴).(-x³) = +5x⁷            

      -3x² +  2x⁴ -  8  -  x³  +  5x

    X                                -5x⁴
____________________________
                            + 5x⁷ - 25x⁵


- Multiplico el monomio por el tercer término (contando desde la derecha), que es -8:

(-5x⁴).(-8) = +40x⁴             


    -3x²  +   2x⁴ -  8  -  x³  +  5x

    X                                 -5x⁴
____________________________
                     + 40x⁴ + 5x⁷ - 25x⁵


- Multiplico el monomio por el cuarto término (contando desde la derecha), que es +2x⁴:

(-5x⁴).(+2x⁴) = -10x⁸             


    -3x²  +   2x⁴ -  8  -  x³  +  5x

    X                                 -5x⁴
____________________________
         - 10x⁸ + 40x⁴  + 5x⁷ - 25x⁵


- Multplico el monomio por el último término que queda: -3x²

(-5x⁴).(-3x²) = 15x⁶                


   -3x²  +   2x⁴ -  8  -  x³  +  5x

    X                                 -5x⁴
____________________________
 15x⁶ - 10x⁸ + 40x⁴  + 5x⁷ - 25x⁵


Resultado: 15x⁶ - 10x⁸ + 40x⁴  + 5x⁷ - 25x⁵

DIVISION DE POLINOMIOS

Para explicar la división de polinomios nos valdremos de un ejemplo práctico:

P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x⁵ : x² = x³

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo: 

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x³ + 2x² + 5x + 8 es el cociente.