INTRODUCCIÓN
Las
funciones son las herramientas principales para la descripción
matemática de una situación real. Todas las fórmulas de la Física no son
más que funciones: expresan cómo ciertas magnitudes (por ejemplo el
volumen de un gas) dependen de otras (la temperatura y la presión).
El
concepto de función es tan importante que muchas ramas de la matemática
moderna se caracterizan por el tipo de funciones que estudian. No es de
extrañar, por ello, que el concepto de función sea de una gran
generalidad. Además, se trata de uno de esos conceptos cuyo contenido
esencial es fácil de comprender pero difícil de formalizar.
La
idea básica de función es la siguiente. Supongamos que tenemos dos
conjuntos A y B; una función de A en B es una regla que a cada elemento
de A asocia un único elemento de B.
En
este curso estamos interesados principalmente en funciones entre
conjuntos de números reales, es decir, A y B son subconjuntos de R; con
frecuencia B = R. Estas funciones se llaman funciones reales de una
variable real. En lo que sigue nos referiremos solamente a este tipo
defunciones y, si no se especifica otra cosa, se entiende que B = R. Por
tanto, para darnos una función nos deben decir, en principio, el
subconjunto A de R donde suponemos que la función está definida y la
regla que asigna a cada número de A un único número real. El conjunto A
recibe el nombre de dominio de la función.
FUNCIÓN DE VARIABLE REAL Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Cualquier
función cuyo rango de conjunto incluya sólo números reales es llamada
una función valorada real o simplemente una función real.
Especialmente
estudiada bajo el cálculo, una función valorada real se centra en las
integrales, las desigualdades en general y sus derivadas.
Una función racional, por ejemplo, cae bajo la categoría de una función valorada real.
Al
igual que en cualquier otra función, también a una función real pueden
realizársele las operaciones básicas, tales como suma, resta,
multiplicación, etc.
Aunque el denominador no sea igual a cero, la operación de división se puede realizar en tales funciones.
El resultado de estas operaciones es otra función, que puede no ser una función real en algunos casos.
Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío S de R en R
Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y o f(x) variable dependiente o imagen.
Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y o f(x) variable dependiente o imagen.
Sean
X y Y dos conjuntos no vacíos, subconjuntos de los números reales. Una
función de variable real de X en Y es una regla de correspondencia que
asocia a cada elemento de X un único elemento de Y.
Esto se representa simbólicamente por:
A la variable x se le llama variable independiente y a la variable y se la conoce como variable dependiente.
f: X →Y
X →y = f (x)
FUNCIÓN LINEAL
Función lineal Para la función entre dos
espacios vectoriales que preserva la suma de vectores y la
multiplicación por un escalar, véase aplicación lineal. En matemática, el término función lineal puede referirse a dos conceptos diferentes. En el primero, correspondiente a la geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, una función que se representa en el plano cartesiano como una línea recta Esta función se puede
escribir como donde m y b son constantes reales y x es una variable
real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta
con el eje y. Cuando cambiamos m modificamos la inclinación de la recta
y cuando cambiamos b desplazamos la línea arriba o abajo. En el segundo
caso, en matemáticas más avanzadas, una función lineal es una función
que es una aplicación lineal. Esto es, una aplicación entre dos espacios vectoriales
que preserva la suma de vectores y la multiplicación por un escalar.
Una función lineal según la primera definición dada anteriormente
representa una aplicación lineal si y sólo si b = 0. Así, algunos
autores llaman función lineal a aquella de la forma f(x) = mx mientras
que llaman función afín a la que tiene la forma f(x) = mx + b cuando b
es distinto de cero.
LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS
Las funciones cuadráticas son más que
curiosidades algebraicas — son ampliamente usadas en la ciencia, los
negocios, y la ingeniería. La parábola con forma de U puede describir
trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar de una pelota, o
pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores parabólicos que
forman la base de los platos satelitales y faros de los carros. Las
funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los
negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la
determinación de valores mínimos y máximos. Muchos de los objetos que
usamos hoy en día, desde los carros hasta los relojes, no existirían si
alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado funciones cuadráticas para
su diseño.
Aquí está la gráfica de la función de la ganancia mostrando el vértice:
